摘要：介紹一種可計算漸開線花鍵拉刀倒角齒測量值的新算法，并編寫了該算法的C 語言計算程序。
圖1 漸開線花鍵齒形 |
圖2 rA的計算 |
1 問題的提出
我廠生產(chǎn)的漸開線花鍵齒輪出口產(chǎn)品對齒輪倒角提出了嚴(yán)格要求，因此設(shè)計加工該齒輪用的漸開線花鍵拉刀時，必須對拉刀倒角測量值進(jìn)行計算。 對于圖1 所示的漸開線花鍵齒形，已知花鍵的模數(shù)m、齒數(shù)z、壓力角a、小徑ra、分度圓齒厚s、基圓半徑rb、倒角長度a、倒角角度b等參數(shù)，對拉刀倒角測量值h（圖1中的EO值）的原計算方法步驟如下：①ch=acotb；②rA=ra+ch；③分度圓齒槽寬w=pm-s；④倒角終止處齒槽寬wA=AB︵=2rA（w/mz+inva-invaA），式中aA=arccos（rb/rA）；⑤wA對應(yīng)弦長AB=2rAsin（180wA/2prA）；⑥CD=AB+2a；⑦d=arcsin（CD/2ra）；⑧dx=90°-b-d；⑨h=EO=racosdx。分析上述計算步驟可知，（3）～（9）理論上均正確。但由圖1可知，rA并不等于ra+a，而是小于ra+a。因此，按rA=ra+a計算出的rA并非值，而是近似值，這就是該計算方法的不足之處。因此，必須采用經(jīng)改進(jìn)的新算法對rA及h進(jìn)行求解。2 rA的求解
建立如圖2 所示坐標(biāo)系，設(shè)點C（x0，y0），A（xA，yA）。由圖2 可知：xA=x0+a，yA=y0+acotb，故A點坐標(biāo)為A（x0+a，y0+acotb），因此有 | rA=[（x0+a）2+（y0+acotb）2]? | （1） |
由于C點在花鍵小徑上，故有由于A 點在漸開線上，故有由圖2可知 | aA=arccos{rb/[（x0+a）2+（y0+acotb）2]?} | （4） |
聯(lián)立式（3）、式（4），有 | q=tan（arccos{rb/[（x0+a）2+（y0+acotb）2]?}）-arccos{rb/[（x0+a）2+（y0+acotb）2]?} | （5） |
由圖2可知式中d=-arctan（x0+a）/（y0+acotb） 由于EF︵實質(zhì)上就是基圓齒槽寬Wb，而Wb的計算公式為因此，將式（7）代入式（6）可得 | q= | 1 | wcosa+mzcosainva | +arctan | x0+a | | | | | | 2 | rb | y0+acotb | | （8） |
令式（5）=式（8），可得 | q=tan（arccos{rb/[（x0+a）2+（y0+acotb）2]?}）-arccos{rb/[（x0+a）2+（y0+acotb）2]?} | | = | 1 | wcosa+mzcosainva | +arctan | x0+a | | | | | | 2 | rb | y0+acotb | | （9） |
聯(lián)立式（2）和式（9），可得方程組  | x02+y02=ra2 | | q=tan（arccos{rb/[（x0+a）2+（y0+acotb）2]?}）-arccos{rb/[（x0+a）2+（y0+acotb）2]?} | | = | 1 | wcosa+mzcosainva | +arctan | x0+a | | | | | | 2 | rb | y0+acotb | | | （10） |
在式（10）中，除x0，y0外，其它參數(shù)值均已知或可求出，因此理論上可通過該方程組求解x0，y0 （實際上x0，y0的求解計算非常繁瑣，因此必須借助計算機(jī)進(jìn)行編程計算），然后根據(jù)式（1）求出rA的解。將rA的解代入*節(jié)介紹的計算步驟，即可求得的拉刀倒角測量值h。
圖3 試值法求解方程組流程圖 |
3 方程組的試值法求解
在式（10）中，x0，y0既存在于根號下，又存在于三角函數(shù)、反三角函數(shù)中，因此用常規(guī)算法很難解出。為此可采用試值法求解。 將式（10）中x02+y02=ra2變形為y0=（rA2-x02）?。對于每一給定的x0值均有對應(yīng)的y0值，因此可確定C 點坐標(biāo)C（x0，y0），且點C（x0，y0）位于圓x02+y02=ra2之上。由于A點坐標(biāo)為A（x0+a，x0+acotb），因此A點也可隨之確定。下一步只須判別x0，y0是否符合式（10）（即A點是否在漸開線上），如符合，則x0，y0即為方程組的解。由于式（9）實質(zhì)為式（5）=式（8），因此可將其變形為式（5）-式（8）=0。由于式（5）、式（8）的值均為實數(shù)，要使二者相等比較困難，因此這里只需將二者差值控制在某一范圍內(nèi)即可認(rèn)為兩式相等，如當(dāng)-0.00001≤式（5）-式（8）≤0. 00001時可認(rèn)為兩式相等，即x0，y0符合式（10），為方程組的解。 求解時需要選取x0的初值。若對x0采取遞加計算，x0初值必須取在C點左邊；若x0初值取在C點右邊，則應(yīng)對x0遞減計算。計算時x0初值由計算機(jī)自動選取。 采用試值法求解方程組的程序流程如圖3所示。4 計算程序與實例
為提高求解方程組的計算效率，采用C語言編寫了以下計算程序。雖然采用試值法（對x0試值）求解，但不需人工輸入x0初值（由計算機(jī)自動選?。?。只需輸入漸開線花鍵參數(shù)，即可獲得計算結(jié)果。 # include "stdio. h" # include "math. h" # define PI 3.141562652 double inv（double num） （return tan（num）-num;） double x0,y0,z,o,c,da,db,A,B1,B2,s,m,P1,AA,B,dc,Ax,M,dk,w,Ac,Wc,b,Fx,H,Aa,sd,sx,xs; main（） {printf（"c=M =d k="）; printf（"%1f%1f%1f",&c,&M,&dk）; printf（"m= z= o= da= A="）; scanf（"%1f%1f%1f%1f%1f",&m,&z,&o,&da,&A））; db=m*z*cos（A*PI/180）; if（fmod（z,2）==1） Ax=acos（db*cos（PI/（2*z））/（M+dk））; else Ax=acos（db/（M+dk））; s=m*z*（PI/z-dk/db+inv（A*PI/180）-inv（Ax））; w=PI*m-s; Aa=acos（db/da）; sd=da*w/（m*z）-da*（inv（Aa）-inv（A*PI/180））; sx=da*sin（sd/da）; xs=-（sx/2+c）; x0=xs; a100:x0=x0+0.0001; y0=sqrt（da*da/4-x0*x0）; AA=acos（（db/2）/sqrt（（x0+c）*（x0+c）+（y0+c/tan（o*PI/180））*（y0+c/tan（O*PI/180）））;B1=inv（AA）; B2=（w*cos（A*PI/180）+m*z*cos（A*PI/180）*inv（A*PI/180））/db+atan（（x0+c）/（y0+c/tan（o*PI/180）））; B=B1-B2; （if B > 0.0001 | | B < -0.0001）goto a100 ; dc=sqrt（（x0+c）*（x0+c）+（y0+c/tan（o*PI/180））*（y0+c/tan（o*PI/180）））*2; Ac=acos（db/dc）; wc=dc*（w/（m*z）+inv（A*PI/180）-inv（Ac））; b=sin（wc/dc）*dc; Fx=90-o-180*asin（（b+2*c）/（m*z））/PI; H=da*cos（Fx*PI/180）/2; printf（"x0=%1f y0=%1f/n",x0, y0）; printf（"db=%1f AA=%1f/n",db,AA）; printf（"B=%1f s=%1f/n",B,s）; printf（"dc=%1f H=%1f/n",dc,H）; getchar（）; } 計算實例：已知漸開線花鍵拉刀參數(shù)：m=2.5mm，z=18，a=30°，s=3.76mm，ra=21.335mm，倒角為0.5×45°。采用原計算方法求得的倒角測量值h=16.958mm，而采用本文介紹的計算方法求得h=16.882mm?？梢姡瑑煞N計算方法的計算差值為0.076mm，且計算方法的計算值要小一些。因此，在對齒輪倒角要求不嚴(yán)格的情況下，采用原計算方法比較簡便；而在對齒輪倒角要求嚴(yán)格的情況下，則應(yīng)采用計算方法，并借助計算機(jī)程序輔助計算。 
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